cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=1\)tìm Min
A=\(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 5 2020
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
M
3 tháng 10 2017
Ta có : \(x^2+y^2+z^2=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1-z^2\\y^2+z^2=1-x^2\\x^2+z^2=1-y^2\end{cases}\left(1\right)}\)
\(A=\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)
Từ \(\left(1\right)\Rightarrow A=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
\(\Rightarrow A=\left(\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}\right)+\frac{z}{1-z^2}\)
T
21 tháng 8 2019
Nếu \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\). Ta sẽ chứng minh đó là min A. Thật vậy:
BĐT<=> \(\Sigma_{sym}\frac{x}{y^2+z^2}=\Sigma_{sym}\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}.\Sigma x^2\)
Ta sẽ chứng minh \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\Leftrightarrow\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}.\left[2x^2\left(1-x^2\right)\left(1-x^2\right)\right]\le\frac{4}{27}\)
BĐT này đúng theo AM-GM nên \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\). Thiết lập tương tự hai bđt kia rồi cộng theo vế ...
P/s: dùng AM-GM thế này đúng ko ta?
TM
30 tháng 5 2017
\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)
tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)
=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4
Vậy minM=6 khi x=y=z=4
S
10 tháng 6 2019
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1.\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(x=y=z=\frac{2}{3}\)
10 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x^2}{y+z}\)và \(\frac{y+z}{4}\), ta được :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=2.\frac{x}{2}=x\) ( 1 )
Tương tự : \(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ( 2 )
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\) ( 3 )
Cộng ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) , ta được :
\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(P\ge\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow\)x = y = z = \(\frac{2}{3}\)
5 tháng 11 2019
\(\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge x+1-\frac{xy+y}{2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{y+1}{z^2+1}\ge y+1-\frac{yz+z}{2}\)
\(\frac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\frac{zx+x}{2}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(Q\ge3+\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z+xy+yz+zx}{2}\)
\(=3+\frac{x+y+z-xy-yz-zx}{2}\)
Có BĐT phụ sau:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) ( tự cm )
\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
19 tháng 8 2020
Bài này có cách lập bảng biến thiên,nhưng mình sẽ làm cách đơn giản
Từ giả thiết \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0< x,y,z< 1\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi cho 3 cặp số dương \(2x^2;1-x^2;1-x^2\)
\(\frac{2x^2+\left(1-x^2\right)+\left(1-x^2\right)}{3}\ge\sqrt[3]{2x^2\left(1-x^2\right)^2}\le\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\Leftrightarrow\frac{x}{y^2+z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\left(1\right)\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{z^2+x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\left(2\right)\\\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng các vế (1), (2) và (3) ta được \(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
20 tháng 8 2020
Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)
Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)
Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng
Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng
Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
\(A=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
Có BĐT phụ \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{-x^2\left(27x^6-54x^4+27x^2-4\right)}{4\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2}}{\frac{x}{1-x^2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2}\ge0\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{y}{1-y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2;\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có;
\(A\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Bài này ngoài cách này còn có 1 cách khá trâu mà giờ mỏi v~ ý cần thêm thì ib
Bài làm thì m không ý kiến nhưng mà m nghĩ cái bất đẳng thức phụ bác nên chứng minh lại đi. Ai lại cố gắng làm cho nó thành 1 đống rồi khẳng định đống đó là đúng bao giờ. Làm thế thì không phải bài chứng minh rồi.